נגזרת שניה: הסבר

חשוב לזכור שנגזרת של פונקציה - היא פונקציה בעצמה, ויש לכך שימושים רבים. בין השאר נובע מכך שלפעמים גם לנגזרת יש נגזרת. יש דרכים לחשב אותה, יש מקרים שמשתמשים בה,וקוראים לה "הנגזרת השניה" של הפונקציה. הסימון הוא ( f `` (x כלומר "אף תגיים של איקס"

הנגזרת מודדת את קצב השינוי של הפונקציה. בפונקציה קבועה אין שינוי, ולכן גם אין קצב שינוי, והנגזרת היא אפס. בפונקציה קווית אחרת קצב השינוי הוא קבוע ושווה לשיפוע של הקו הישר שהוא גרף הפונקציה. בפונקציות אחרות הקצב של השינוי משתנה בעצמו, וצריך לדעת לחשב אותו. באופן דומה הנגזרת השניה מודדת את קצב השינוי של השינוי. למשל בזמן תנועה, אם מודדים את המרחק כפונקציה של הזמן, אז הנגזרת היא שינוי המרחק - כלומר המהירות כפונקציה של הזמן, והנגזרת השניה מודדת את שינוי המהירות כפונקציה של הזמן - כלומר את התאוצה.

דוגמה: אם מסתכלים על פונקציה קווית y= ax + b , השיפוע שלה הוא תמיד a, כלומרקצב השינוי שלה קבוע. נגזרת הפונקציה הקווית היא y`=a. בגלל שהפונקציה הנגזרת היא פונקציה קבועה, זה אומר שקצב השינוי שלה קבוע והוא שווה לאפס. לכן הנגזרת השניה של פונקציה קווית היא תמיד אפס. מסמנים את זה y``=0.

עוד דוגמה: אם מסתכלים על פונקציה ריבועית כמו y=-3x2+5x-7 . השיפוע של הפונקציה הזאת משתנה בכל נקודה ונקודה. מתוך חישובי הנגזרת אנחנו יודעים שהשיפוע בנקודה מסויימת x נתון בנוסחה y`=6x + 5 , וזה השינוי של הפונקציה. הקצב של השינוי הזה הוא קבוע :y``=6.

יש כמובן פונקציות אחרות שבהן לא רק שהפונקציה משתנה, אלא שגם הקצב של השינוי הזה משתנה מנקודה לנקודה.



כאשר הפונקציה עולה - הנגזרת חיובית, כאשר הפונקציה יורדת - הנגזרת שלילית. כך הנגזרת מסייעת במציאת תחומי עליה וירידה של הפונקציה. כאשר הנגזרת שווה אפס - לפעמים מדובר בשינוי מגמה מעליה לירידה או מירידה לעליה וזו נקודת קיצון. לפעמים אין כאן שינוי מגמה והפונקציה שעלתה עד כה, ממשיכה לעלות גם בהמשך. במקרה הזה הנקודה היא נקודת פיתול.



כאן יש שימוש מעשי לנגזרת השניה בעת מיון נקודות קיצון. למציאת נקודות קיצון השלב הראשון הוא גזירה של הפונקציה והשוואת הנגזרת לאפס. מתקבלת משוואה ולה פיתרון או פיתרונות. ערכי ה- X המתקבלים בדרך זו אינם בוודאות נקודות קיצון, ויש לבדוק אותן. בשלב זה נהוג לקרוא להן "נקודות חשודות" הנגזרת השניה היא אחת הדרכים המומלצות למיון הנקודות החשודות.
את הנגזרת של הפונקציה גוזרים בשנית (על פי כללי הנגזרת הרגילים) ומקבלים ביטוי אלגברי של הנגזרת השניה. בביטוי זה מציבים כל נקודה מן הנקודות החשודות. אין צורך לפתור עד הסוף, מספיק לגלות האם התוצאה חיובית או שלילית.
נגזרת שניה חיובית משמעה שהנקודה היא נקודת מינימום.
נגזרת שניה שלילית משמעה שהנקודה היא נקודת מקסימום.

נגזרת מנה

כאשר הפונקציה שרוצים למצוא לה את הנגזרת מורכבת ממנה של שתי פונקציות אחרות, יש נוסחה מיוחדת כדי למצוא את הנגזרת של הפונקציה הזאת:


לפעמים משתמשים בסימונים קצת שונים, ואז הנוסחה נראית כך:




דוגמה לשימוש בנוסחה:



יש לנוסחה הזאת הוכחה, היא משתמש בהגדרת הנגזרת, וכרגע לא אביא אותה.
עוד דוגמה, הפעם של נגזרת של פונקציה מוכרת, שבה משתמשים בנגזרת פונקציית מנה רק כדי להראות שההגדרות מתאימות:


התוצאה היא הנגזרת הידועה של הפונקציה 1 חלקי x.

עוד שימוש בנגזרת מנה, נעשה במציאת הנגזרת של הפונקציה הטריגונומטרית טנגנס. כאן משתמשים בהגדרה של טנגנס כסינוסx חלקי קוסינוס x, וכך מחשבים את הנגזרת:

ועוד דוגמה לשימוש בנוסחה, של פונקציה קצת מסובכת:



כאשר רוצים להשוות נגזרת מנה לאפס, למשל במציאת נקודות קיצון של הפונקציה, משתמשים בכלל:
מנה שווה לאפס אם ורק אם המונה שלה שווה לאפס,


ואז פותרים את המשוואה:


קישורים קשורים
1. קישור לדף ובו אפשר להוריד דף נוסחאות מפורט וברור.

2. מחשבון נגזרות (באנגלית)

נגזרת של מכפלה

דוגמאות למכפלת פונקציות:( y=x(3x+2
y=xcosx
y=lnxsinx

הנוסחה לנגזרת מכפלה, נקראת גם "כלל לייבניץ"

(fg)`=f`g+g`f

את הנוסחה מוכיחים מהגדרת הנגזרת במונחי גבול, והיא נובעת בדיוק מכך שגבול של מכפלה הוא מכפלת הגבולות. מכך נובע שנגזרת של מכפלה היא לא מכפלת הנגזרות אלא ביטוי מסובך יותר שכולל סכום של שני מחוברים, שכל אחד מהם הוא מכפלת אחת הפונקציות בנגזרת של הפונקציה השלמה.
יש לה הכללה ליותר משתי פונקציות, אבל זה לא כלול בחומר הלימודים לתיכון.

דוגמה של גזירת מכפלה בשתי דרכים:

( f(x)=2x⁴(5x²-3x

דרך א` לפי כלל המכפלה:
8x³(5x²-3x)
2x⁴(10x-3)

הסכום הוא: 60x⁵-30x⁴
דרך ב`: נפתח סוגריים ונקבל פולינום: 10x⁶-6x⁵
הנגזרת שלו היא 60x⁵-30x⁴

מהדוגמה הקודמת לא ברור בכלל למה צריך להסתבך עם כלל המכפלה כאשר יש שיטות גזירה אחרות. אבל לפעמים פשוט אין ברירה, כמו במקרים שבהן מעורבות פונקציות טריגונומטריות, מעריכיות או לוגריתמיות.

דוגמה ליישום:
f(x)=x²sinx
המרכיב הראשון הוא  2xsinx (נגזרת של x^2 כפול sinx)
המרכיב השני הוא x²cosx  (הפונקציה x^2 עם הנגזרת של sinx)
ובסך הכל הנגזרת היא: f`(x)=2xsinx+x²cosx

לתרגול עצמי:
מה הנגזרת של f(x)=x^3cosx?
מה הנגזרת של f(x)=sinxcosx?
מה הנגזרת של (g(x)=sin^2(x  
קישורים קשורים:
1. שתי הוכחות לנוסחה של נגזרת מכפלה בויקיספר. הוכחה ראשונה מתוך נוסחת הנגזרת, הוכחה שניה בעזרת גזירה לוגריתמית.
2. אינטגרציה בחלקים בויקיפדיה. שיטת אינטגרציה שמבוססת על כלל המכפלה.

נגזרת של חזקה

הנוסחה לנגזרת פונקציה החזקה

f(x)=xⁿ

היא:

f`(x)=nx^n-1

דוגמה:
הנגזרת של  y=x² היא 2x
 
הוכחה בעזרת הגדרת הנגזרת: צריך להסתכל על ( f(x+h)-f(x, לחלק אותו בהפרש ה- xים שהוא h ולמצוא את הגבול של המנה הזאת כאשר h שואף לאפס.
f(x+h)-f(x) z  זה x+h)²-x² ) . את הביטוי x+h)² ) פותחים בעזרת נוסחת הכפל המקוצר
a+b)²=a²+2ab+b² ) , ומקבלים
x²+2xh+h²
מחסרים את ( f(x כלומר את x² ומקבלים 2xh+h² . את הביטוי הזה מחלקים ב- h  ומקבלים  2x+h  וזה ביטוי ששואף ל- 2x כאשר h שואף לאפס.

הנגזרת של y=x^3 היא y`=3x^2,
הנגזרת של y=x^4 היא y`=4x^3
וכך הלאה.

ההוכחה במקרה הכללי של חזקת n כאשר n הוא מספר שלם נעשית בדרך דומה, כאשר משתמשים בפיתוח שנקרא "הבינום של ניוטון". אפשר גם להוכיח את הנוסחה הכללית בעזרת הנוסחה למכפלת פונקציות ובאינדוקציה על החזקה n.

נותר עוד לדון מה קורה כאשר n הוא חזקה לא שלמה או שלילית, מה המשמעות המתמטית ולמה אפשר להשתמש באותה נוסחה כללית גם במקרה הזה.

 קישורים קשורים:
1. עוד כללים של נגזרות אלמנטריות.

נגזרת של מספר

לפעמים תלמידים רוצים לדעת "מה זו נגזרת של מספר", אבל התשובה האמיתית היא שאין כזה דבר. יש נגזרת לפונקציה לא למספר. יכוללהיות שהכוונה היא אחרת. כאשר מחפשים את "הנגזרת של 5" מתכוונים בעצם לנגזרת של הפונקציה הקבועה f(x)=5 זאת שמתאימה לכל ערך x את המספר 5. ואז השאלה צריכה להיות "מה היא הנגזרת של פונקציה קבועה".
לזה יש תשובה והיא אפילו עגולה, יפה וקלה לזכירה: הנגזרת של פונקציה קבועה היא 0. בין השאר זה אומר שגם הנגזרת של הפונקציה הקבועה באפס היא אפס.

קל לזכור את זה כי נגזרת היא קצב שינוי הגרף, וגרף של פונקציה קבועה אינו משתנה כלל, ולכן קצב השינוי שלו הוא אפס.
די דומה היא התשובה לשאלה "מה זו הנגזרת של x?" הכוונה היא לנוסחת הנגזרת של הפונקציה y = x שנקראת גם פונקציית הזהות. גם כאן התשובה נובעת מהגדרת הנגזרת כשיפוע המשיק לגרף. כאשר גרף הפונקציההוא קו ישר, שיפוע המשיק הוא שיפוע הקו הישר הזה. השיפוע של הישר y = x הוא 1, ולכן y`=1.


 קישורים קשורים:
1. הוכחה מתמטית מדוייקת לכך שאם נגזרת שמתאפסת בקטע מסוים, זה אומר שהפונקציה קבועה בקטע.

כללי נגזרת

עוד לפני הנוסחאות לנגזרות של פונקציות מסויימות, יש כללים שלפיהם הולכת הנגזרת. הכללים הללו, שלפעמים נוטים לזלזל בהם, לא נקבעו סתם, ויש לכל אחד מהם הוכחה מתמטית מפורטת. ההוכחות נובעות בעיקר מהכללים של מציאת גבולות לפונקציות וממניפולציות אלגבריות .

הניסוח המתמטי של הכללים נמצא בתמונה למעלה, אבל לפעמים קל יותר לזכור אותם כאשר הם מנוסחים במילים:

1. נגזרת של מכפלה בקבוע היא מכפלת הנגזרת באותו קבוע.
2. נגזרת של סכום שתי פונקציות הוא סכום הנגזרות. באותו אופן: נגזרת של הפרש היא הפרש הנגזרות.

הכללים 1 ו- 2, יחד עם הנוסחה לחישוב נגזרת של פונקציית חזקה, הם כל מה שדרוש כדי לגזור כל פולינום שהוא.

3. נגזרת של מכפלה. זה כבר יותר מסובך, כי נגזרת של מכפלה איננה מכפלת הנגזרות, אלא בכל פעם גוזרים את אחת הפונקציות ומכפילים את הנגזרת בפונקציה שנותרה שלמה. את שתי המכפלות מחברים יחד.

4. הנוסחה לנגזרת מנה של פונקציות נובעת מהנוסחה של מכפלה, והיא מסובכת אפילו יותר. אין צורך לזכור אותה בעל פה כי היא נמצאת בכל דף נוסחאות. חשוב לזכור כאן את הסדר במונה: קודם f`g וממנו מחסרים g`f . אם מבלבלים את הסדר מקבלים תוצאה בסימן הפוך מהתשובה הנכונה.

5. נגזרת של הרכבת פונקציות היא מכפלת הנגזרת של הפונקציה החיצונית בנגזרת הפונקציה הפנימית. כלל זה נקרא "כלל השרשרת", וקל להשתמש בו אם זוכרים לכתוב קודם מה היא "הפונקציה החיצונית" ומה הנגזרת שלה, ומה הפונקציה הפנימית ומה הנגזרת שלה.

 קישורים קשורים:
1.  נגזרות בויקיפדיה: חוקי נגזרות ואחריהם רשימה ארוכה של נגזרות שימושיות.
2. קישור לקראת הורדת קובץ שמכיל את כל נוסחאות הנגזרת לתיכון.
3. דפי נוסחאות של נגזרות  באתר "עזרשת" - עזרה במתמטיקה.
4. חיבור פונקציות והצורה הפולינומית: דף לימוד באתר של מט"ח

נגזרת של פונקציה: הסבר

מושג הנגזרת הוא מושג חשוב בתחום המתמטי הנקרא "חשבון דיפרנציאלי". הנגזרת מסייעת לחקור תכונות של פונקציות המוצגות באמצעות נוסחה אלגברית, לשרטט סקיצה של גרף הפונקציה ולמצוא פיתרונות אופטימליים לבעיות רבות.

הדרך הפשוטה ביותר להגדיר נגזרת של פונקציה בנקודה מסויימת היא השיפוע של המשיק לפונקציה באופה נקודה. משיק הוא קו ישר שבסביבה הקרובה של גרף הפונקציה מתנהג כמוה. יש הגדרות של נגזרת שאינן מדברות על משיק אלא על "הקירוב הלינארי" - כלומר פונקציה קווית שמתקרבת מאוד לפונקציה המבוקשת ובסביבה קרובה גם מתלכדת עימה.

המילה נגזרת מעלה בראש מספריים שבעזרתם גוזרים, ואכן יש קשר בין המושגים. כאשר משתמשים במספריים בעלי להב ישר לגזירה של קו עקום - הגזירה אינה מדוייקת אלא מורכבת מקטעים ישרים שקרובים לעקומה - כלומר - מקירובים לינאריים אליה. השיפועים של קווי הגזירה הללו מהווים את הנגזרת של העקומה.

אוסף כל השיפועים של המשיקים או של הקירובים הלינאריים בנקודות השונות של הפונקציה הוא בעצמו פונקציה שנקראת "הפונקציה הנגזרת" או בקצרה "נגזרת"

סימון לפונקציה הנגזרת של הפונקציה  ( f(x הוא ( f ` (x   (קוראים את זה "אף תג של איקס")

חשוב לזכור שנגזרת של פונקציה - היא פונקציה בעצמה, ויש לכך שימושים רבים. בין השאר נובע מכך שלפעמים גם לנגזרת יש נגזרת. יש דרכים לחשב אותה, יש מקרים שמשתמשים בה, וקוראים לה "הנגזרת השניה" של הפונקציה. הסימון הוא ( f `` (x כלומר "אף תגיים של איקס"

הנגזרת מודדת את קצב השינוי של הפונקציה. בפונקציה קבועה אין שינוי, ולכן גם אין קצב שינוי, והנגזרת היא 0. בפונקציה קווית אחרת קצב השינוי הוא קבוע ושווה לשיפוע של הקו הישר שהוא גרף הפונקציה. בפונקציות אחרות הקצב של השינוי משתנה בעצמו, וצריך לדעת לחשב אותו.

הנוסחה המדוייקת לחישוב נגזרת משתמשת במושג הגבול שהוא מושג בסיסי במתמטיקה גבוהה. לא מחפשים את המשיק לפונקציה, אלא מסתכלים על ישרים חותכים - שעוברים בנקודה המבוקשת, ובנקודה שניה על הגרף, שהולכת ומתקרבת אל הנקודה המבוקשת. לכל חותך כזה שיפוע משלו, ויש נוסחה כללית לכל החותכים העוברים בנקודה x. אחרי מציאת הנוסחה הזאת - מחפשים את הגבול שלה, וזה שיפוע המשיק.

חישוב הנגזרת לפי ההגדרה הזאת עלול להיות מלאה מאוד, ולכן אחרי שחישבו בצורה מדוייקת נוסחאות לנגזרות שונות - מביאים אותם לתלמיד בצורה של רשימת נגזרות כלליות, ובהם משתמשים בפועל בתרגילים שבהם צריך לחשב נגזרת.

לא לכל פונקציה יש נגזרת, ויש פונקציות שהנגזרת שלהן מוגדרת רק בחלק מהנקודות. הכל תלוי בקיום של אותו גבול שהוזכר קודם. פונקציה שיש לה נגזרת בכל התחום שלה נקראת "פונקציה גזירה".

בשביל מה צריך את הנגזרת?
1. כדי לדעת להכיר את הפונקציה ולהצליח לשרטט גרף מתוך הנוסחה האלגברית. אנחנו יודעים לעשות את זה מצויין עם פונקציות קוויות. אין לנו שום מושג לגבי גרפים מסובכים יותר. לכן אנחנו משתמשים בפונקציות הקוויות הקרובות לפונקציה ("הקירוב הלינארי") ובשיפועים שלהן ("נגזרת") ולומדים דרכן על פונקציות מסובכות יותר. זה נקרא "חקירת הפונקציה". עוד קצת פירוט אפשר לקרוא כאן.

2. כדי למצוא פיתרונות אופטימליים לבעיות מעשיות. בבעיות רבות אין פיתרון אחד, אלא אוסף של פיתרונות שיוצרים פונקציה. מבין כל הפתרונות מחפשים את הכדאי ביותר - המינימלי או המקסימלי. את הפיתרונות האלה כדאי לחפש במקומות שבהן הנגזרת של הפונקציה המקורית מתאפסת. זה נקרא "פיתרון בעיות קיצון".

3. בפיזיקה מושג הנגזרת הוא נפוץ ושימושי מאוד. הנגזרת היא "קצב השינוי", והרבה פעמים מתעניינים מאוד בקצב השינוי הזה. למשל מהירות היא קצב השינוי של המרחק, ותאוצה היא קצב השינוי של המהירות.

קישורים קשורים:
1.  הערך נגזרת בויקיפדיה: גולש את מעבר להבנה תיכונית, אל החומר של האוניברסיטה, אבל ברור ומובן.
2. על הנגזרת בויקיספר: "חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לתלמידי תיכון" כולל הסברים ודוגמאות מפורטות.
3. מתוך פורום מתמטיקה בתפוז: תשובה לשאלה "נגזרת - איך הגדירו אותה בכלל, ולמה?" ועוד תשובה לשאלה: "האם לכל פונקציה יהיה תמיד משיק אחד?"
4. דף הסברים והגדרות ראשוניות למונח נגזרת.
5. עזרשת - אתר לעזרה במתמטיקה לתלמידי חטיבות הביניים והחטיבה העליונה.

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: הסבר

חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי מכונה לפעמים בראשי תיבות חדו"א. זהו התחום במתמטיקה שבו לומדים למצוא תכונות של פונקציות, ולהשתמש בתכונות אלה. השאלות שעליהן מנסים לענות במסגרת התחום הזה הן:

א. כיצד נראה גרף הפונקציה? כלומר: לאילו ערכי x הפונקציה מוגדרת? מתי היא עולה? מתי היא יורדת? מתי היא חותכת את הצירים? מה הן הנקודות המקסימליות והמינימליות שלה? ועוד. כל מידע שיוכל להעביר את הפונקציה מן הנוסחה האלגברית אל הייצוג הויזואלי שלה - גרף או סקיצה של גרף - כלול בתשובה לשאלה הזאת. כל זה נכלל במה שנקרא "חקירת הפונקציה".

ב. מה היא משוואת המשיק לפונקציה בנקודה מסויימת? בכל נקודה אפשר להתאים לפונקציה משיק - ישר הפוגש אותה בנקודה אחת. ההתאמה בין ערך ה-x של הנקודה לערך השיפוע של המשיק לאותה נקודה נקראת "הפונקציה הנגזרת" של הפונקציה המקורית, והיא כלי מרכזי בחשבון הדיפרנציאלי. החשיבות של מציאת משוואות המשיקים השונות לפונקציה מסויימת טמונה ביכולת שלנו להבין היטב פונקציות קוויות, ובחוסר היכולת שלנו להבין פונקציות מסובכות יותר. המשיקים מסייעים להבין ולחקור את הפונקציות המסובכות. כיום יש נוסחאות רבות למציאת נגזרת לפונקציות שונות, ויש כללי גזירה, ונעזרים בהן בעת החישובים.

ג. מה הערך המקסימלי או המינימלי של סיטואציה מסויימת? אם מצליחים להרכיב מהסיטואציה המדוברת פונקציה, אפשר להיעזר בנגזרת כדי למצוא את הנקודות האופטימליות של הפונקציה. נקודה אופטימלית יכולה להיות מקסימלית או מינימלית, בהתאם לסיטואציה. למשל במקרה של רווחים, נרצה את הרווח הגדול ביותר (מקסימום) ובמקרה של עלויות, נרצה דווקא את העלות הנמוכה ביותר. המינימום והמקסימום של הפונקציה נקראים בשם כולל "נקודות קיצון". בנקודות הקיצון של הפונקציה הנגזרת מתאפסת, וכך מוצאים אותן.

ד. מה אומר גרף הפונקציה הנגזרת על הפונקציה המקורית ועל התנהגות הגרף שלה? לפונקציה המקורית קוראים פונקציה קדומה, והדרך לחישוב הפונקציה הזאת נקרא "אינטגרציה".

ה. מה השטח מתחת לגרף של פונקציה נתונה? במפתיע, גם את התשובה לזה מוצאים בעזרת ההופכי של הנגזרת - האינטגרל. גם למציאת אינטרגלים יש נוסחאות שונות, וכללים, וגם בהם משתמשים בחישובים השונים.
 קישורים קשורים:
1.  הערך חשבון אינפיניטיסימלי בויקיפדיה: גולש את מעבר להבנה תיכונית, אל החומר של האוניברסיטה, אבל ברור ומובן.
2. בויקיספר: "חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לתלמידי תיכון" כולל הסברים ודוגמאות מפורטות.
3. ספר וירטואלי בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לתיכון.
4. דף הסברים וקישורים מתוך האתר סיכומונה.
5. עזרשת - אתר לעזרה במתמטיקה לתלמידי חטיבות הביניים והחטיבה העליונה.