נגזרת של מכפלה

דוגמאות למכפלת פונקציות:( y=x(3x+2
y=xcosx
y=lnxsinx

הנוסחה לנגזרת מכפלה, נקראת גם "כלל לייבניץ"

(fg)`=f`g+g`f

את הנוסחה מוכיחים מהגדרת הנגזרת במונחי גבול, והיא נובעת בדיוק מכך שגבול של מכפלה הוא מכפלת הגבולות. מכך נובע שנגזרת של מכפלה היא לא מכפלת הנגזרות אלא ביטוי מסובך יותר שכולל סכום של שני מחוברים, שכל אחד מהם הוא מכפלת אחת הפונקציות בנגזרת של הפונקציה השלמה.
יש לה הכללה ליותר משתי פונקציות, אבל זה לא כלול בחומר הלימודים לתיכון.

דוגמה של גזירת מכפלה בשתי דרכים:

( f(x)=2x⁴(5x²-3x

דרך א` לפי כלל המכפלה:
8x³(5x²-3x)
2x⁴(10x-3)

הסכום הוא: 60x⁵-30x⁴
דרך ב`: נפתח סוגריים ונקבל פולינום: 10x⁶-6x⁵
הנגזרת שלו היא 60x⁵-30x⁴

מהדוגמה הקודמת לא ברור בכלל למה צריך להסתבך עם כלל המכפלה כאשר יש שיטות גזירה אחרות. אבל לפעמים פשוט אין ברירה, כמו במקרים שבהן מעורבות פונקציות טריגונומטריות, מעריכיות או לוגריתמיות.

דוגמה ליישום:
f(x)=x²sinx
המרכיב הראשון הוא  2xsinx (נגזרת של x^2 כפול sinx)
המרכיב השני הוא x²cosx  (הפונקציה x^2 עם הנגזרת של sinx)
ובסך הכל הנגזרת היא: f`(x)=2xsinx+x²cosx

לתרגול עצמי:
מה הנגזרת של f(x)=x^3cosx?
מה הנגזרת של f(x)=sinxcosx?
מה הנגזרת של (g(x)=sin^2(x  
קישורים קשורים:
1. שתי הוכחות לנוסחה של נגזרת מכפלה בויקיספר. הוכחה ראשונה מתוך נוסחת הנגזרת, הוכחה שניה בעזרת גזירה לוגריתמית.
2. אינטגרציה בחלקים בויקיפדיה. שיטת אינטגרציה שמבוססת על כלל המכפלה.