הנוסחה לנגזרת פונקציה החזקה
דוגמה:
הנגזרת של y=x2 היא 2x
הוכחה בעזרת הגדרת הנגזרת: צריך להסתכל על ( f(x+h)-f(x, לחלק אותו בהפרש ה- xים שהוא h ולמצוא את הגבול של המנה הזאת כאשר h שואף לאפס.
f(x+h)-f(x) z זה x+h)2-x2 ) . את הביטוי x+h)2 ) פותחים בעזרת נוסחת הכפל המקוצר
a+b)2=a2+2ab+b2 ) , ומקבלים
x2+2xh+h2
מחסרים את ( f(x כלומר את x2 ומקבלים 2xh+h2 . את הביטוי הזה מחלקים ב- h ומקבלים 2x+h וזה ביטוי ששואף ל- 2x כאשר h שואף לאפס.
הנגזרת של y=x^3 היא y`=3x^2,
הנגזרת של y=x^4 היא y`=4x^3
וכך הלאה.
ההוכחה במקרה הכללי של חזקת n כאשר n הוא מספר שלם נעשית בדרך דומה, כאשר משתמשים בפיתוח שנקרא "הבינום של ניוטון". אפשר גם להוכיח את הנוסחה הכללית בעזרת הנוסחה למכפלת פונקציות ובאינדוקציה על החזקה n.
נותר עוד לדון מה קורה כאשר n הוא חזקה לא שלמה או שלילית, מה המשמעות המתמטית ולמה אפשר להשתמש באותה נוסחה כללית גם במקרה הזה.
קישורים קשורים:
1. עוד כללים של נגזרות אלמנטריות.
f(x)=xn
היא:f`(x)=nxn-1
דוגמה:
הנגזרת של y=x2 היא 2x
הוכחה בעזרת הגדרת הנגזרת: צריך להסתכל על ( f(x+h)-f(x, לחלק אותו בהפרש ה- xים שהוא h ולמצוא את הגבול של המנה הזאת כאשר h שואף לאפס.
f(x+h)-f(x) z זה x+h)2-x2 ) . את הביטוי x+h)2 ) פותחים בעזרת נוסחת הכפל המקוצר
a+b)2=a2+2ab+b2 ) , ומקבלים
x2+2xh+h2
מחסרים את ( f(x כלומר את x2 ומקבלים 2xh+h2 . את הביטוי הזה מחלקים ב- h ומקבלים 2x+h וזה ביטוי ששואף ל- 2x כאשר h שואף לאפס.
הנגזרת של y=x^3 היא y`=3x^2,
הנגזרת של y=x^4 היא y`=4x^3
וכך הלאה.
ההוכחה במקרה הכללי של חזקת n כאשר n הוא מספר שלם נעשית בדרך דומה, כאשר משתמשים בפיתוח שנקרא "הבינום של ניוטון". אפשר גם להוכיח את הנוסחה הכללית בעזרת הנוסחה למכפלת פונקציות ובאינדוקציה על החזקה n.
נותר עוד לדון מה קורה כאשר n הוא חזקה לא שלמה או שלילית, מה המשמעות המתמטית ולמה אפשר להשתמש באותה נוסחה כללית גם במקרה הזה.
קישורים קשורים:1. עוד כללים של נגזרות אלמנטריות.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה