מושג הנגזרת הוא מושג חשוב בתחום המתמטי הנקרא "חשבון דיפרנציאלי". הנגזרת מסייעת לחקור תכונות של פונקציות המוצגות באמצעות נוסחה אלגברית, לשרטט סקיצה של גרף הפונקציה ולמצוא פיתרונות אופטימליים לבעיות רבות.
הדרך הפשוטה ביותר להגדיר נגזרת של פונקציה בנקודה מסויימת היא השיפוע של המשיק לפונקציה באופה נקודה. משיק הוא קו ישר שבסביבה הקרובה של גרף הפונקציה מתנהג כמוה. יש הגדרות של נגזרת שאינן מדברות על משיק אלא על "הקירוב הלינארי" - כלומר פונקציה קווית שמתקרבת מאוד לפונקציה המבוקשת ובסביבה קרובה גם מתלכדת עימה.
המילה נגזרת מעלה בראש מספריים שבעזרתם גוזרים, ואכן יש קשר בין המושגים. כאשר משתמשים במספריים בעלי להב ישר לגזירה של קו עקום - הגזירה אינה מדוייקת אלא מורכבת מקטעים ישרים שקרובים לעקומה - כלומר - מקירובים לינאריים אליה. השיפועים של קווי הגזירה הללו מהווים את הנגזרת של העקומה.
אוסף כל השיפועים של המשיקים או של הקירובים הלינאריים בנקודות השונות של הפונקציה הוא בעצמו פונקציה שנקראת "הפונקציה הנגזרת" או בקצרה "נגזרת"
סימון לפונקציה הנגזרת של הפונקציה ( f(x הוא ( f ` (x (קוראים את זה "אף תג של איקס")
חשוב לזכור שנגזרת של פונקציה - היא פונקציה בעצמה, ויש לכך שימושים רבים. בין השאר נובע מכך שלפעמים גם לנגזרת יש נגזרת. יש דרכים לחשב אותה, יש מקרים שמשתמשים בה, וקוראים לה "הנגזרת השניה" של הפונקציה. הסימון הוא ( f `` (x כלומר "אף תגיים של איקס"
הנגזרת מודדת את קצב השינוי של הפונקציה. בפונקציה קבועה אין שינוי, ולכן גם אין קצב שינוי, והנגזרת היא 0. בפונקציה קווית אחרת קצב השינוי הוא קבוע ושווה לשיפוע של הקו הישר שהוא גרף הפונקציה. בפונקציות אחרות הקצב של השינוי משתנה בעצמו, וצריך לדעת לחשב אותו.
הנוסחה המדוייקת לחישוב נגזרת משתמשת במושג הגבול שהוא מושג בסיסי במתמטיקה גבוהה. לא מחפשים את המשיק לפונקציה, אלא מסתכלים על ישרים חותכים - שעוברים בנקודה המבוקשת, ובנקודה שניה על הגרף, שהולכת ומתקרבת אל הנקודה המבוקשת. לכל חותך כזה שיפוע משלו, ויש נוסחה כללית לכל החותכים העוברים בנקודה x. אחרי מציאת הנוסחה הזאת - מחפשים את הגבול שלה, וזה שיפוע המשיק.
חישוב הנגזרת לפי ההגדרה הזאת עלול להיות מלאה מאוד, ולכן אחרי שחישבו בצורה מדוייקת נוסחאות לנגזרות שונות - מביאים אותם לתלמיד בצורה של רשימת נגזרות כלליות, ובהם משתמשים בפועל בתרגילים שבהם צריך לחשב נגזרת.
לא לכל פונקציה יש נגזרת, ויש פונקציות שהנגזרת שלהן מוגדרת רק בחלק מהנקודות. הכל תלוי בקיום של אותו גבול שהוזכר קודם. פונקציה שיש לה נגזרת בכל התחום שלה נקראת "פונקציה גזירה".
בשביל מה צריך את הנגזרת?
1. כדי לדעת להכיר את הפונקציה ולהצליח לשרטט גרף מתוך הנוסחה האלגברית. אנחנו יודעים לעשות את זה מצויין עם פונקציות קוויות. אין לנו שום מושג לגבי גרפים מסובכים יותר. לכן אנחנו משתמשים בפונקציות הקוויות הקרובות לפונקציה ("הקירוב הלינארי") ובשיפועים שלהן ("נגזרת") ולומדים דרכן על פונקציות מסובכות יותר. זה נקרא "חקירת הפונקציה". עוד קצת פירוט אפשר לקרוא כאן.
2. כדי למצוא פיתרונות אופטימליים לבעיות מעשיות. בבעיות רבות אין פיתרון אחד, אלא אוסף של פיתרונות שיוצרים פונקציה. מבין כל הפתרונות מחפשים את הכדאי ביותר - המינימלי או המקסימלי. את הפיתרונות האלה כדאי לחפש במקומות שבהן הנגזרת של הפונקציה המקורית מתאפסת. זה נקרא "פיתרון בעיות קיצון".
3. בפיזיקה מושג הנגזרת הוא נפוץ ושימושי מאוד. הנגזרת היא "קצב השינוי", והרבה פעמים מתעניינים מאוד בקצב השינוי הזה. למשל מהירות היא קצב השינוי של המרחק, ותאוצה היא קצב השינוי של המהירות.
קישורים קשורים:
1. הערך נגזרת בויקיפדיה: גולש את מעבר להבנה תיכונית, אל החומר של האוניברסיטה, אבל ברור ומובן.
2. על הנגזרת בויקיספר: "חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לתלמידי תיכון" כולל הסברים ודוגמאות מפורטות.
3. מתוך פורום מתמטיקה בתפוז: תשובה לשאלה "נגזרת - איך הגדירו אותה בכלל, ולמה?" ועוד תשובה לשאלה: "האם לכל פונקציה יהיה תמיד משיק אחד?"
4. דף הסברים והגדרות ראשוניות למונח נגזרת.
5. עזרשת - אתר לעזרה במתמטיקה לתלמידי חטיבות הביניים והחטיבה העליונה.
הדרך הפשוטה ביותר להגדיר נגזרת של פונקציה בנקודה מסויימת היא השיפוע של המשיק לפונקציה באופה נקודה. משיק הוא קו ישר שבסביבה הקרובה של גרף הפונקציה מתנהג כמוה. יש הגדרות של נגזרת שאינן מדברות על משיק אלא על "הקירוב הלינארי" - כלומר פונקציה קווית שמתקרבת מאוד לפונקציה המבוקשת ובסביבה קרובה גם מתלכדת עימה.
המילה נגזרת מעלה בראש מספריים שבעזרתם גוזרים, ואכן יש קשר בין המושגים. כאשר משתמשים במספריים בעלי להב ישר לגזירה של קו עקום - הגזירה אינה מדוייקת אלא מורכבת מקטעים ישרים שקרובים לעקומה - כלומר - מקירובים לינאריים אליה. השיפועים של קווי הגזירה הללו מהווים את הנגזרת של העקומה.
אוסף כל השיפועים של המשיקים או של הקירובים הלינאריים בנקודות השונות של הפונקציה הוא בעצמו פונקציה שנקראת "הפונקציה הנגזרת" או בקצרה "נגזרת"
סימון לפונקציה הנגזרת של הפונקציה ( f(x הוא ( f ` (x (קוראים את זה "אף תג של איקס")
חשוב לזכור שנגזרת של פונקציה - היא פונקציה בעצמה, ויש לכך שימושים רבים. בין השאר נובע מכך שלפעמים גם לנגזרת יש נגזרת. יש דרכים לחשב אותה, יש מקרים שמשתמשים בה, וקוראים לה "הנגזרת השניה" של הפונקציה. הסימון הוא ( f `` (x כלומר "אף תגיים של איקס"
הנגזרת מודדת את קצב השינוי של הפונקציה. בפונקציה קבועה אין שינוי, ולכן גם אין קצב שינוי, והנגזרת היא 0. בפונקציה קווית אחרת קצב השינוי הוא קבוע ושווה לשיפוע של הקו הישר שהוא גרף הפונקציה. בפונקציות אחרות הקצב של השינוי משתנה בעצמו, וצריך לדעת לחשב אותו.
הנוסחה המדוייקת לחישוב נגזרת משתמשת במושג הגבול שהוא מושג בסיסי במתמטיקה גבוהה. לא מחפשים את המשיק לפונקציה, אלא מסתכלים על ישרים חותכים - שעוברים בנקודה המבוקשת, ובנקודה שניה על הגרף, שהולכת ומתקרבת אל הנקודה המבוקשת. לכל חותך כזה שיפוע משלו, ויש נוסחה כללית לכל החותכים העוברים בנקודה x. אחרי מציאת הנוסחה הזאת - מחפשים את הגבול שלה, וזה שיפוע המשיק.
חישוב הנגזרת לפי ההגדרה הזאת עלול להיות מלאה מאוד, ולכן אחרי שחישבו בצורה מדוייקת נוסחאות לנגזרות שונות - מביאים אותם לתלמיד בצורה של רשימת נגזרות כלליות, ובהם משתמשים בפועל בתרגילים שבהם צריך לחשב נגזרת.
לא לכל פונקציה יש נגזרת, ויש פונקציות שהנגזרת שלהן מוגדרת רק בחלק מהנקודות. הכל תלוי בקיום של אותו גבול שהוזכר קודם. פונקציה שיש לה נגזרת בכל התחום שלה נקראת "פונקציה גזירה".
בשביל מה צריך את הנגזרת?
1. כדי לדעת להכיר את הפונקציה ולהצליח לשרטט גרף מתוך הנוסחה האלגברית. אנחנו יודעים לעשות את זה מצויין עם פונקציות קוויות. אין לנו שום מושג לגבי גרפים מסובכים יותר. לכן אנחנו משתמשים בפונקציות הקוויות הקרובות לפונקציה ("הקירוב הלינארי") ובשיפועים שלהן ("נגזרת") ולומדים דרכן על פונקציות מסובכות יותר. זה נקרא "חקירת הפונקציה". עוד קצת פירוט אפשר לקרוא כאן.
2. כדי למצוא פיתרונות אופטימליים לבעיות מעשיות. בבעיות רבות אין פיתרון אחד, אלא אוסף של פיתרונות שיוצרים פונקציה. מבין כל הפתרונות מחפשים את הכדאי ביותר - המינימלי או המקסימלי. את הפיתרונות האלה כדאי לחפש במקומות שבהן הנגזרת של הפונקציה המקורית מתאפסת. זה נקרא "פיתרון בעיות קיצון".
3. בפיזיקה מושג הנגזרת הוא נפוץ ושימושי מאוד. הנגזרת היא "קצב השינוי", והרבה פעמים מתעניינים מאוד בקצב השינוי הזה. למשל מהירות היא קצב השינוי של המרחק, ותאוצה היא קצב השינוי של המהירות.
קישורים קשורים:
1. הערך נגזרת בויקיפדיה: גולש את מעבר להבנה תיכונית, אל החומר של האוניברסיטה, אבל ברור ומובן.
2. על הנגזרת בויקיספר: "חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לתלמידי תיכון" כולל הסברים ודוגמאות מפורטות.
3. מתוך פורום מתמטיקה בתפוז: תשובה לשאלה "נגזרת - איך הגדירו אותה בכלל, ולמה?" ועוד תשובה לשאלה: "האם לכל פונקציה יהיה תמיד משיק אחד?"
4. דף הסברים והגדרות ראשוניות למונח נגזרת.
5. עזרשת - אתר לעזרה במתמטיקה לתלמידי חטיבות הביניים והחטיבה העליונה.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה