חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי מכונה לפעמים בראשי תיבות חדו"א. זהו התחום במתמטיקה שבו לומדים למצוא תכונות של פונקציות, ולהשתמש בתכונות אלה. השאלות שעליהן מנסים לענות במסגרת התחום הזה הן:
א. כיצד נראה גרף הפונקציה? כלומר: לאילו ערכי x הפונקציה מוגדרת? מתי היא עולה? מתי היא יורדת? מתי היא חותכת את הצירים? מה הן הנקודות המקסימליות והמינימליות שלה? ועוד. כל מידע שיוכל להעביר את הפונקציה מן הנוסחה האלגברית אל הייצוג הויזואלי שלה - גרף או סקיצה של גרף - כלול בתשובה לשאלה הזאת. כל זה נכלל במה שנקרא "חקירת הפונקציה".
ב. מה היא משוואת המשיק לפונקציה בנקודה מסויימת? בכל נקודה אפשר להתאים לפונקציה משיק - ישר הפוגש אותה בנקודה אחת. ההתאמה בין ערך ה-x של הנקודה לערך השיפוע של המשיק לאותה נקודה נקראת "הפונקציה הנגזרת" של הפונקציה המקורית, והיא כלי מרכזי בחשבון הדיפרנציאלי. החשיבות של מציאת משוואות המשיקים השונות לפונקציה מסויימת טמונה ביכולת שלנו להבין היטב פונקציות קוויות, ובחוסר היכולת שלנו להבין פונקציות מסובכות יותר. המשיקים מסייעים להבין ולחקור את הפונקציות המסובכות. כיום יש נוסחאות רבות למציאת נגזרת לפונקציות שונות, ויש כללי גזירה, ונעזרים בהן בעת החישובים.
ג. מה הערך המקסימלי או המינימלי של סיטואציה מסויימת? אם מצליחים להרכיב מהסיטואציה המדוברת פונקציה, אפשר להיעזר בנגזרת כדי למצוא את הנקודות האופטימליות של הפונקציה. נקודה אופטימלית יכולה להיות מקסימלית או מינימלית, בהתאם לסיטואציה. למשל במקרה של רווחים, נרצה את הרווח הגדול ביותר (מקסימום) ובמקרה של עלויות, נרצה דווקא את העלות הנמוכה ביותר. המינימום והמקסימום של הפונקציה נקראים בשם כולל "נקודות קיצון". בנקודות הקיצון של הפונקציה הנגזרת מתאפסת, וכך מוצאים אותן.
ד. מה אומר גרף הפונקציה הנגזרת על הפונקציה המקורית ועל התנהגות הגרף שלה? לפונקציה המקורית קוראים פונקציה קדומה, והדרך לחישוב הפונקציה הזאת נקרא "אינטגרציה".
ה. מה השטח מתחת לגרף של פונקציה נתונה? במפתיע, גם את התשובה לזה מוצאים בעזרת ההופכי של הנגזרת - האינטגרל. גם למציאת אינטרגלים יש נוסחאות שונות, וכללים, וגם בהם משתמשים בחישובים השונים.
קישורים קשורים:
1. הערך חשבון אינפיניטיסימלי בויקיפדיה: גולש את מעבר להבנה תיכונית, אל החומר של האוניברסיטה, אבל ברור ומובן.
2. בויקיספר: "חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לתלמידי תיכון" כולל הסברים ודוגמאות מפורטות.
3. ספר וירטואלי בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לתיכון.
4. דף הסברים וקישורים מתוך האתר סיכומונה.
5. עזרשת - אתר לעזרה במתמטיקה לתלמידי חטיבות הביניים והחטיבה העליונה.
א. כיצד נראה גרף הפונקציה? כלומר: לאילו ערכי x הפונקציה מוגדרת? מתי היא עולה? מתי היא יורדת? מתי היא חותכת את הצירים? מה הן הנקודות המקסימליות והמינימליות שלה? ועוד. כל מידע שיוכל להעביר את הפונקציה מן הנוסחה האלגברית אל הייצוג הויזואלי שלה - גרף או סקיצה של גרף - כלול בתשובה לשאלה הזאת. כל זה נכלל במה שנקרא "חקירת הפונקציה".
ב. מה היא משוואת המשיק לפונקציה בנקודה מסויימת? בכל נקודה אפשר להתאים לפונקציה משיק - ישר הפוגש אותה בנקודה אחת. ההתאמה בין ערך ה-x של הנקודה לערך השיפוע של המשיק לאותה נקודה נקראת "הפונקציה הנגזרת" של הפונקציה המקורית, והיא כלי מרכזי בחשבון הדיפרנציאלי. החשיבות של מציאת משוואות המשיקים השונות לפונקציה מסויימת טמונה ביכולת שלנו להבין היטב פונקציות קוויות, ובחוסר היכולת שלנו להבין פונקציות מסובכות יותר. המשיקים מסייעים להבין ולחקור את הפונקציות המסובכות. כיום יש נוסחאות רבות למציאת נגזרת לפונקציות שונות, ויש כללי גזירה, ונעזרים בהן בעת החישובים.
ג. מה הערך המקסימלי או המינימלי של סיטואציה מסויימת? אם מצליחים להרכיב מהסיטואציה המדוברת פונקציה, אפשר להיעזר בנגזרת כדי למצוא את הנקודות האופטימליות של הפונקציה. נקודה אופטימלית יכולה להיות מקסימלית או מינימלית, בהתאם לסיטואציה. למשל במקרה של רווחים, נרצה את הרווח הגדול ביותר (מקסימום) ובמקרה של עלויות, נרצה דווקא את העלות הנמוכה ביותר. המינימום והמקסימום של הפונקציה נקראים בשם כולל "נקודות קיצון". בנקודות הקיצון של הפונקציה הנגזרת מתאפסת, וכך מוצאים אותן.
ד. מה אומר גרף הפונקציה הנגזרת על הפונקציה המקורית ועל התנהגות הגרף שלה? לפונקציה המקורית קוראים פונקציה קדומה, והדרך לחישוב הפונקציה הזאת נקרא "אינטגרציה".
ה. מה השטח מתחת לגרף של פונקציה נתונה? במפתיע, גם את התשובה לזה מוצאים בעזרת ההופכי של הנגזרת - האינטגרל. גם למציאת אינטרגלים יש נוסחאות שונות, וכללים, וגם בהם משתמשים בחישובים השונים.
קישורים קשורים:
1. הערך חשבון אינפיניטיסימלי בויקיפדיה: גולש את מעבר להבנה תיכונית, אל החומר של האוניברסיטה, אבל ברור ומובן.
2. בויקיספר: "חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לתלמידי תיכון" כולל הסברים ודוגמאות מפורטות.
3. ספר וירטואלי בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי לתיכון.
4. דף הסברים וקישורים מתוך האתר סיכומונה.
5. עזרשת - אתר לעזרה במתמטיקה לתלמידי חטיבות הביניים והחטיבה העליונה.
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה